\chapter{二体问题}
\section{引言}
\subsection{概述}
宇宙中天体的运动往往非常复杂，但两个粒子（或天体）在仅有相互引力作用下的运动——即二体问题——是少数几个存在精确解析解的重要问题之一。理解二体问题是研究更复杂天体力学问题的基础。

% 移除了“导出宇宙所有定律”的断言

\section{坐标系}
\subsection{三维坐标系}
描述空间位置需要坐标系。常用的有：
\begin{itemize}
	\item 笛卡尔坐标系 $(x, y, z)$
	\item 球坐标系 $(r, \theta, \phi)$
	\item 柱坐标系 $(\rho, \phi, z)$
\end{itemize}
为了完整描述运动，还需要引入时间坐标 $t$。

\subsection{二维坐标系}
通过选择合适的参考平面，二体问题可以被简化为平面运动。在平面中，常用：
\begin{itemize}
	\item 直角坐标系 $(x, y)$
	\item 极坐标系 $(r, \theta)$
\end{itemize}

\subsection{相对位置的描述}
设粒子0（质量$m_0$）和粒子1（质量$m_1$）。选择极坐标系，粒子1相对于粒子0的位置矢量为：
\begin{equation}
	\mathbf{r} = (r \cos\theta, r \sin\theta)
\end{equation}
其速度 $\mathbf{v}$ 可分解为径向分量 $v_r = \dot{r}$ 和切向分量 $v_\theta = r\dot{\theta}$。

\section{二体问题的简化}
二体问题可以简化为一个质量为**约化质量** $\mu = \frac{m_0 m_1}{m_0 + m_1}$ 的假想粒子在固定力心（位于两粒子质心）的引力场中的运动。该约化粒子的运动轨迹是圆锥曲线，其类型由**偏心率** $e$ 决定：
\begin{itemize}
	\item $e = 0$：圆轨道
	\item $0 < e < 1$：椭圆轨道
	\item $e = 1$：抛物线轨道
	\item $e > 1$：双曲线轨道
\end{itemize}
在引力束缚系统中，椭圆轨道最为常见。

% 移除了关于双曲线轨道来源的不准确描述

\section{匀速圆周运动：一个特例}
匀速圆周运动 ($e=0$) 是二体问题最简单的解，它是椭圆轨道的一个特例。我们以此为基础推导一些基本关系。

\subsection{运动学条件}
假设约化粒子绕力心做半径为 $r$ 的**匀速圆周运动**，这意味着：
\begin{align}
	\dot{r} &= 0 \quad \text{(径向速度为零)} \\
	\dot{\theta} &= \omega = \text{常数} \quad \text{(角速度恒定)} \\
	\ddot{\theta} &= 0 \quad \text{(角加速度为零)}
\end{align}
其切向速度大小 $v_t = v_{t0}$ 也恒定。

\subsection{角速度}
角速度 $\omega$ 定义为角度对时间的变化率。对于匀速圆周运动，其大小为：
\begin{equation}
	\label{eq:angular_velocity}
	\omega = \dot{\theta} = \frac{v_{t0}}{r}
\end{equation}

\subsection{相位角}
对恒定的角速度 $\omega$ 进行积分，可得到相位角随时间的变化关系：
\begin{equation}
	\label{eq:phase_angle}
	\theta(t) = \omega t + \theta_0
\end{equation}
其中 $\theta_0$ 是 $t=0$ 时的初始相位角。

\subsection{运动周期}
运动周期 $T$ 是粒子运动一周所需的时间。由于角度变化 $2\pi$ 所需的时间就是周期，因此：
\begin{equation}
	\label{eq:period}
	T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v_{t0}}
\end{equation}

\subsection{动力学关系：向心力与万有引力}
维持圆周运动的向心力由万有引力提供：
\begin{equation}
	\frac{\mu v_{t0}^2}{r} = G \frac{m_0 m_1}{r^2}
\end{equation}
由此可以解出轨道速度 $v_{t0} = \sqrt{\frac{G(m_0 + m_1)}{r}}$，这体现了速度、质量和轨道半径之间的约束关系。

\section{牛顿之前的时代}
假设我们处于牛顿之前的时代，没人知道约化质量、万有引力定律的概念，我们如何实现牛顿的理论？
